Section A
Q1.
(a)
सिद्ध कीजिए कि n विमीय सदिश समष्टि V के लिए n रैखिकतः स्वतंत्र सदिशों का कोई भी समुच्चय V के लिए एक आधार बनाता है ।
Prove that any set of n linearly independent vectors in a vector space V of dimension n constitutes a basis for V.
(b) माना T : R2 → R3एक रैखिक रूपांतरण, ऐसा है कि T \beginpmatrix 1 \ 0 \ 3 \ \endpmatrix = \beginpmatrix 1 \ 2 \ 8 \ \endpmatrix तथा T \beginpmatrix 1 \ 2 \ 8 \ \endpmatrix = \beginpmatrix -3 \ 2 \ 8 \ \endpmatrix है । T \beginpmatrix 2 \ 4 \ \endpmatrix को ज्ञात कीजिए । Let T : R2 → R3be a linear transformation such that T \beginpmatrix 1 \ 0 \ 3 \ \endpmatrix = \beginpmatrix 1 \ 2 \ 8 \ \endpmatrix and T \beginpmatrix 1 \ 2 \ 8 \ \endpmatrix = \beginpmatrix -3 \ 2 \ 8 \ \endpmatrix. Find T \beginpmatrix 2 \ 4 \ \endpmatrix.
(c) (ex + x)1/xका मान निकालिए । Evaluate lim \undersetx → ∞{\textlim} (ex + x)1/x.
(d) ∫02 (dx)/((2x - x2)) की अभिसारिता का परीक्षण कीजिए । Examine the convergence of ∫02 (dx)/((2x - x2)).
