Section A
Q1.
(a)
मान लीजिए K एक क्षेत्र है तथा K[X], K पर एक एकल चर X में बहुपदों का वलय है। एक बहुपद f ∈ K[X] के लिए मान लीजिए (f), f द्वारा जनित K[X] में गुणजावली को निर्दिष्ट करता है । दर्शाइए कि (f), K[X] में एक उच्चिष्ठ गुणजावली है यदि और केवल यदि f, K पर अखंडनीय बहुपद है।
Let K be a field and K[X] be the ring of polynomials over K in a single variable X. For a polynomial f ∈ K[X], let (f) denote the ideal in K[X] generated by f. Show that (f) is a maximal ideal in K[X] if and only if f is an irreducible polynomial over K.
(b)
f(x) = x2 sin (1)/(x), 0 < x < ∞ द्वारा दिए गए फलन f : (0, ∞) → \mathbbR के लिए दर्शाइए कि एक अवकलनीय फलन g : \mathbbR → \mathbbR है जो f का विस्तार करता है।
For the function f : (0, ∞) → \mathbbR given by
f(x) = x2 sin (1)/(x), 0 < x < ∞,
show that there is a differentiable function g : \mathbbR → \mathbbR that extends f.
(c)
दो अनुक्रम xn तथा yn निम्न द्वारा आगमनत: परिभाषित होते हैं :
x1 = 1/2, y1 = 1 तथा xn = √(xn-1 yn-1), n = 2, 3, 4, ...
(1)/(yn) = 1/2 (1)/(xn) + (1)/(yn-1) ), \quad n = 2, 3, 4, ...
सिद्ध कीजिए कि xn-1 < xn < yn < yn-1, n = 2, 3, 4, ...
तथा निगमन कीजिए कि दोनों अनुक्रम एक ही सीमान्त (limit) l पर अभिसरित होते हैं, जहाँ 1/2 < l < 1 है ।
Two sequences xn and yn are defined recursively by :
x1 = 1/2, y1 = 1 and xn = √(xn-1 yn-1), n = 2, 3, 4, ...
(1)/(yn) = 1/2 (1)/(xn) + (1)/(yn-1) ), \quad n = 2, 3, 4, ...
Prove that xn-1 < xn < yn < yn-1, n = 2, 3, 4, ... and deduce that both sequences converge to the same limit l, where 1/2 < l < 1.
