Section A
Q1.
(a)
मान लीजिए R तत्समक अवयव सहित एक पूर्णाकीय प्रांत है। दर्शाइए कि R[x] में कोई भी एकक R में एक एकक है।
Let R be an integral domain with unit element. Show that any unit in R[x] is a unit in R.
(b)
असमिका: (π^2)/(9) < ∫π(π)/(2) (x)/(sin x) dx < (2π^2)/(9) को सिद्ध कीजिए।
Prove the inequality: (π^2)/(9) < ∫π(π)/(2) (x)/(sin x) dx < (2π^2)/(9).
(c)
सिद्ध कीजिए कि फलन : u(x, y) = (x - 1)^3 - 3xy2 + 3y2 प्रसंवादी है और इसके प्रसंवादी संयुग्मी को और संगत विश्लेषिक फलन f(z) को, z के रूप में ज्ञात कीजिए।
Prove that the function: u(x, y) = (x - 1)^3 - 3xy2 + 3y2 is harmonic and find its harmonic conjugate and the corresponding analytic function f(z) in terms of z.
(d)
p(>0) का वह परास ज्ञात कीजिए, जिसके लिए श्रेणी:
rac{1}{(1+a)^p} - rac{1}{(2+a)^p} + rac{1}{(3+a)^p} - dots, a > 0
(i) निरपेक्षत: अभिसारी तथा (ii) सापेक्ष अभिसारी है।
Find the range of p(>0) for which the series :
rac{1}{(1+a)^p} - rac{1}{(2+a)^p} + rac{1}{(3+a)^p} - dots, a > 0, is
(i) absolutely convergent and (ii) conditionally convergent.
(e)
एक कृषि फर्म के पास 180 टन नाइट्रोजन उर्वरक, 250 टन फॉस्फेट तथा 220 टन पोटाश है। फर्म इन पदार्थों के क्रमश: 3 : 3 : 4 के अनुपात में मिश्रण को 1500 रुपये प्रति टन के मुनाफे से तथा 2:4:2 के अनुपात में मिश्रण को 1200 रुपये प्रति टन के मुनाफे से बेच पायेगी। एक रैखिक-प्रोग्रामन समस्या प्रस्तुत कीजिए, जो यह दर्शाए कि अधिकतम मुनाफा प्राप्त करने के लिए, इन मिश्रणों की कितने टन मात्रा तैयार की जानी चाहिए |
An agricultural firm has 180 tons of nitrogen fertilizer, 250 tons of phosphate and 220 tons of potash. It will be able to sell a mixture of these substances in their respective ratio 3 : 3 : 4 at a profit of Rs. 1500 per ton and a mixture in the ratio 2 : 4 : 2 at a profit of Rs. 1200 per ton. Pose a linear programming problem to show how many tons of these two mixtures should be prepared to obtain the maximum profit.
