Section A
Q1.
(a)
माना समुच्चय V में सभी n imes n के वास्तविक मैजिक वर्ग हैं। दिखाइए कि समुच्चय V, R पर एक सदिश समष्टि है। दो भिन्न-भिन्न 2 imes 2 मैजिक वर्ग के उदाहरण दीजिए।
Consider the set V of all n imes n real magic squares. Show that V is a vector space over R. Give examples of two distinct 2 imes 2 magic squares.
(b)
माना M2(R) सभी 2×2 वास्तविक आव्यूहों का सदिश समष्टि है। माना B = eginvmatrix 1 & -1 \ -4 & 4 endvmatrix. माना Tcolon M2(R) o M2(R) एक रैखिक रूपांतरण है, जो T(A) = BA द्वारा परिभाषित है। T की कोटि (रैंक) व शून्यता (नलिटि) ज्ञात कीजिए। आव्यूह A ज्ञात कीजिए, जो शून्य आव्यूह को प्रतिचित्रित करता है।
Let M2(R) be the vector space of all 2 imes 2 real matrices. Let B = eginvmatrix 1 & -1 \ -4 & 4 endvmatrix. Suppose T: M2(R) o M2(R) is a linear transformation defined by T(A) = BA. Find the rank and nullity of T. Find a matrix A which maps to the null matrix.
(c)
lim_{x o racpi4} ( an x)an 2x का मान निकालिए।
Evaluate lim_{x o racpi4} ( an x)an 2x.
(d)
वक्र (2x + 3)y = (x-1)2 के सभी अनंतस्पर्शी निकालिए।
Find all the asymptotes of the curve (2x + 3)y = (x-1)2.
(e)
दीर्घवृत्तज 2x2 + 6y2 + 3z2 = 27 के स्पर्श समतल का समीकरण निकालिए, जो रेखा x - y - z = 0 = x - y + 2z - 9 से होकर गुजरता है।
Find the equations of the tangent plane to the ellipsoid 2x2 + 6y2 + 3z2 = 27 which passes through the line x-y-z = 0 = x-y + 2z-9.
