Section A
Q1.
(a) दर्शाइये कि गुणनात्मक समूह G = 1, -1, i, -i, जहाँ i = sqrt(-1) है, समूह G' = (0, 1, 2, 3, + 4) के तुल्याकारी है। Show that the multiplicative group G = 1, -1, i, -i, where i = sqrt(-1), is isomorphic to the group G' = (0, 1, 2, 3, + 4).
(b)
यदि f(z) = u + iv, z का एक विश्लेषिक फलन है, तथा u - v = raccos x + sin x - e-y2 cos x - ey - e-y है, तब शर्त fleft(racpi2
ight) = 0 के अधीन f(z) का मान ज्ञात कीजिये। If f(z) = u + iv is an analytic function of z, and u - v = raccos x + sin x - e-y2 cos x - ey - e-y, then find f(z) subject to the condition fleft(racpi2
ight) = 0.
(c) int0infty raccos x1 + x2 dx के अभिसरण का परीक्षण कीजिये। Test the convergence of int0infty raccos x1 + x2 dx.
(d) f(z) = rac1(z-1)2 (z-3) का क्षेत्रों (i) 0 < |z-1| < 2 एवं (ii) 0 < |z-3| < 2 के लिये वैध लौराँ श्रेणी में विस्तार कीजिये। Expand f(z) = rac1(z-1)2 (z-3) in a Laurent series valid for the regions (i) 0 < |z-1| < 2 and (ii) 0 < |z-3| < 2.
(e) निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल करने के लिये द्विचरण विधि का उपयोग कीजिये : न्यूनतमीकरण कीजिये Z = x1 + x2 बशर्ते कि 2x1 + x2 ge 4, x1 + 7x2 ge 7, x1, x2 ge 0 Use the two-phase method to solve the following linear programming problem: Minimize Z = x1 + x2 subject to 2x1 + x2 ge 4, x1 + 7x2 ge 7, x1, x2 ge 0.
