Section A
Q1. क्या समुच्चय (0, 0, 0, 3), (1, 1, 0, 0), (0, 1, -1, 0) को सदिश समष्टि \mathbbR4 का एक आधार बनाने के लिए विस्तारित किया जा सकता है ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। रैखिक रूपांतरण T: \mathbbR4 → \mathbbR3, जो T(x, y, z, w) = (x-w, y + z, z-w) द्वारा दिया गया है, का परिसर (रेन्ज), कोटि (रैंक), अष्टि (कर्नेल) और शून्यता ज्ञात कीजिए। लम्बाई 6 मीटर और चौड़ाई 2 मीटर की एक आयताकार धातु की चादर दी गई है। चारों कोनों से चार बराबर वर्गों को हटाया गया है। इस चादर के फलकों को मोड़कर एक खुला आयताकार सन्दूक बनाना है। सन्दूक की ऐसी सन्निकट ऊँचाई ज्ञात कीजिए कि सन्दूक का आयतन अधिकतम हो। दिया गया है कि f(x + y) = f(x) f(y), सभी वास्तविक x, y के लिए, f(x) ≠ 0 किसी भी वास्तविक x के लिए और f'(0) = 2 है। सभी वास्तविक x के लिए दर्शाइए कि f'(x) = 2f(x) है। अतः f(x) ज्ञात कीजिए।
(a) Can the set (0, 0, 0, 3), (1, 1, 0, 0), (0, 1, -1, 0) be extended to form a basis of the vector space \mathbbR4 ? Justify your answer.
(b) Find the range, rank, kernel and nullity of the linear transformation T: \mathbbR4 → \mathbbR3 given by T(x, y, z, w) = (x - w, y + z, z - w).
(c) A rectangular sheet of metal of length 6 meters and width 2 meters is given. Four equal squares are removed from the four corners. The sides of this sheet are now folded up to form an open rectangular box. Find approximately the height of the box, such that the volume of the box is maximum.
(d) Given that f(x + y) = f(x) f(y) for all real x, y, f(x) ≠ 0 for any real x and f'(0) = 2. Show that for all real x, f'(x) = 2f(x). Hence find f(x).
