Section A
Q1.
(a)
मान लीजिए कि S3 व Z3 क्रमश: 3 प्रतीकों का क्रमचय समूह एवं मॉड्यूल 3 अवशिष्ट वर्गों के समूह हैं । दर्शाइए कि S3 का Z3 में तुच्छ समाकारिता के अतिरिक्त कोई भी समाकारिता नहीं है।
Let S3 and Z3 be permutation group on 3 symbols and group of residue classes module 3 respectively. Show that there is no homomorphism of S3 in Z3 except the trivial homomorphism.
(b)
मान लीजिए R मुख्य गुणजावली प्रान्त है। दर्शाइए कि R के विभाग-वलय की प्रत्येक गुणजावली, मुख्य गुणजावली है तथा R/P, R के अभाज्यगुणजावली P के लिए मुख्य गुणजावली प्रान्त है।
Let R be a principal ideal domain. Show that every ideal of a quotient ring of R is principal ideal and R/P is a principal ideal domain for a prime ideal P of R.
(c)
सिद्ध कीजिए कि शर्त |an+1 - an| le lpha |an - an-1|, जहाँ पर 0<lpha<1 को सभी प्राकृतिक संख्याओं n ge 2 के लिए सन्तुष्ट करने वाला अनुक्रम (an), कॉशी-अनुक्रम होता है।
Prove that the sequence (an) satisfying the condition |an+1 - an| le lpha |an - an-1|, 0 < lpha < 1 for all natural numbers n ge 2, is a Cauchy sequence.
(d)
समाकल intC (z2 + 3z) dz का, (2, 0) से (0, 2) तक वक्र C के वामावर्त अनुगत जहाँ पर C वृत्त |z| = 2 है, मान निकालिए।
Evaluate the integral intC (z2 + 3z) dz counterclockwise from (2, 0) to (0, 2) along the curve C, where C is the circle |z| = 2.
(e)
यू. पी. एस. सी. के रखरखाव विभाग ने भवन में पर्दों की आवश्यकता-पूर्ति हेतु पर्दा-कपडे के पर्याप्त संख्या में टुकड़े खरीदे हैं। प्रत्येक टुकड़े की लम्बाई 17 फुट है। पर्दों की लम्बाई के अनुसार आवश्यकता निम्नलिखित है:
पर्दे की लम्बाई (फुटों में) आवश्यक संख्या
5 700
9 400
7 300
टुकड़ों एवं सभी पर्दों की चौड़ाइयाँ समान हैं । विभिन्न रूप से काटे गये टुकड़ों की संख्या का निर्णय इस प्रकार करने हेतु कि कुल कटान-हानि न्यूनतम हो, एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या का प्रामाणिक रूप में निर्धारण कीजिए । इसका एक आधारी सुसंगत हल भी दीजिए । URC-B-MTH
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खण्ड 'A' SECTION 'A'
मान लीजिए कि S3 व Z3 क्रमश: 3 प्रतीकों का क्रमचय समूह एवं मॉड्यूल 3 अवशिष्ट वर्गों के समूह हैं । दर्शाइए कि S3 का Z3 में तुच्छ समाकारिता के अतिरिक्त कोई भी समाकारिता नहीं है। Let S3 and Z3 be permutation group on 3 symbols and group of residue classes module 3 respectively. Show that there is no homomorphism of S3 in Z3 except the trivial homomorphism. 10
1. (b)
मान लीजिए R मुख्य गुणजावली प्रान्त है । दर्शाइए कि R के विभाग-वलय की प्रत्येक गुणजावली,
मुख्य गुणजावली है तथा R/P, R के अभाज्यगुणजावली P के लिए मुख्य गुणजावली प्रान्त है। Let R be a principal ideal domain. Show that every ideal of a quotient ring of
R is principal ideal and R/P is a principal ideal domain for a prime ideal P of R. (c)
सिद्ध कीजिए कि शर्त
|an+1 - an| le lpha |an - an-1|, जहाँ पर 0<lpha<1 को सभी प्राकृतिक संख्याओं n ge 2 के लिए सन्तुष्ट
करने वाला अनुक्रम (an), कॉशी-अनुक्रम होता है। Prove that the sequence (an) satisfying the condition
|an+1 - an| le lpha |an - an-1|, 0 < lpha < 1 for all natural numbers n ge 2, is a Cauchy sequence. (d)
समाकल intC (z2 + 3z)dz का, (2, 0) से (0, 2) तक वक्र C के वामावर्त अनुगत जहाँ पर C वृत्त
|z| = 2 है, मान निकालिए। Evaluate the integral intC (z2 + 3z)dz counterclockwise from (2, 0) to (0, 2) along the
curve C, where C is the circle |z| = 2. (e)
यू. URC-B-MTH
2.
