Section A
Q1.
माना H, R4की एक उपसमष्टि है, जो कि सदिशों v1 = (1, -2, 5, -3), v2 = (2, 3, 1, -4), v3 = (3, 8, -3, -5) द्वारा जनित है। तब H का एक आधार एवं विमा ज्ञात कीजिए तथा H के इस आधार को \mathbbR4 के एक आधार तक विस्तृत कीजिए।
Let H be a subspace of \mathbbR4 spanned by the vectors v1 = (1, -2, 5, -3), v2 = (2, 3, 1, -4), v3 = (3, 8, -3, -5). Then find a basis and dimension of H, and extend the basis of H to a basis of \mathbbR4. माना T: \mathbbR3 → \mathbbR3 एक रैखिक संकारक है तथा \mathbbR पर \mathbbR3 का एक आधार B = v1, v2, v3 है। माना कि Tv1 = (1, 1, 0), Tv2 = (1, 0, -1), Tv3 = (2, 1, -1) हैं। T की परिसर समष्टि तथा शून्य समष्टि के लिए एक आधार ज्ञात कीजिए।
Let T: \mathbbR3 → \mathbbR3 be a linear operator and B = \v1, v2, v3\ be a basis of \mathbbR3 over R. Suppose that Tv1 = (1, 1, 0), Tv2 = (1, 0, -1), Tv3 = (2, 1, -1). Find a basis for the range space and null space of T. x के सभी मानों के लिए फलन
f(x) = \begincases (1)/(1 - e-1/x), & x ≠ 0 \\ 0, & x = 0 \endcases के सांतत्य की चर्चा कीजिए।
Discuss the continuity of the function
f(x) = \begincases (1)/(1 - e-1/x), & x ≠ 0 \\ 0, & x = 0 \endcases for all values of x. टेलर प्रमेय द्वारा ln(x) का (x - 1) की घात में प्रसार कीजिए तथा ln(1·1) का दशमलव के चार स्थानों तक सही मान ज्ञात कीजिए।
Expand ln(x) in powers of (x - 1) by Taylor's theorem and hence find the value of ln(1·1) correct up to four decimal places. वृत्त x2 + y2 + z2 = 9, x - y + z = 3 से होकर जाने वाले लम्ब वृत्तीय बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Find the equation of the right circular cylinder which passes through the circle x2 + y2 + z2 = 9, x - y + z = 3.
(a) माना H, R4 की एक उपसमष्टि है, जो कि सदिशों v1 = (1, -2, 5, -3), v2 = (2, 3, 1, -4), v3 = (3, 8, -3, -5) द्वारा जनित है। तब H का एक आधार एवं विमा ज्ञात कीजिए तथा H के इस आधार को \mathbbR4 के एक आधार तक विस्तृत कीजिए। Let H be a subspace of \mathbbR4 spanned by the vectors v1 = (1, -2, 5, -3), v2 = (2, 3, 1, -4), v3 = (3, 8, -3, -5). Then find a basis and dimension of H, and extend the basis of H to a basis of \mathbbR4.
(b) माना T: \mathbbR3 → \mathbbR3 एक रैखिक संकारक है तथा \mathbbR पर \mathbbR3 का एक आधार B = v1, v2, v3 है। माना कि Tv1 = (1, 1, 0), Tv2 = (1, 0, -1), Tv3 = (2, 1, -1) हैं। T की परिसर समष्टि तथा शून्य समष्टि के लिए एक आधार ज्ञात कीजिए। Let T: \mathbbR3 → \mathbbR3 be a linear operator and B = \v1, v2, v3\ be a basis of \mathbbR3 over R. Suppose that Tv1 = (1, 1, 0), Tv2 = (1, 0, -1), Tv3 = (2, 1, -1). Find a basis for the range space and null space of T. x के सभी मानों के लिए फलन
(d) मान ज्ञात कीजिए। Expand ln(x) in powers of (x - 1) by Taylor's theorem and hence find the value of ln(1\cdot 1) correct up to four decimal places.
(e) वृत्त x2 + y2 + z2 = 9, x - y + z = 3 से होकर जाने वाले लम्ब वृत्तीय बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए। Find the equation of the right circular cylinder which passes through the circle x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9, x - y + z = 3. 10 2.
