Section A
Q1.
माना एक समूह G के दो उपसमूह H और K इस प्रकार हैं कि o(H) > √(o(G)) और o(K) > √(o(G)) हैं। दर्शाइए कि H ∩ K ≠ \e\ है, जहाँ e तत्समक अवयव है। यहाँ o(H), o(K) और o(G) क्रमशः H, K और G की कोटि को दर्शाते हैं।
Let H and K be two subgroups of a group G such that o(H) > √(o(G)) and o(K) > √(o(G)). Show that H ∩ K ≠ \e\, where e is the identity element. Here o(H), o(K) and o(G) denote the order of H, K and G respectively.
(a) माना एक समूह G के दो उपसमूह H और K इस प्रकार हैं कि o
(h) > √(o(G)) और o(K) > √(o(G)) हैं। दर्शाइए कि H ∩ K ≠ \e\ है, जहाँ e तत्समक अवयव है। यहाँ o(H), o(K) और o
(g) क्रमशः H, K और G की कोटि को दर्शाते हैं। Let H and K be two subgroups of a group G such that o
(b) माना G = \e, x, x2, y, yx, yx2\ एक अन्-आबेली समूह है तथा o(x) = 3 और o(y) = 2 हैं। दर्शाइए कि xy = yx2 है (जहाँ e, समूह G का तत्समक अवयव है और o(x), o(y) क्रमशः अवयवों x, y की कोटि को दर्शाते हैं)। Let G = \e, x, x2, y, yx, yx2\ be a non-Abelian group with o(x) = 3 and o(y) = 2. Show that xy = yx2 (where e is the identity element of G and o(x), o(y) denote the order of the elements x, y respectively).
(d) 1
