Section A
Q1.
(a)
मान लीजिए V1 = (2, -1, 3, 2), V2 = (-1, 1, 1, -3), V3 = (1, 1, 9, -5) समष्टि mathbb{R}^4 के तीन सदिश हैं। क्या (3, -1, 0, -1) in विस्तृति {V1, V2, V3}? अपने उत्तर को तर्कसहित सिद्ध कीजिए ।
Let V1 = (2, -1, 3, 2), V2 = (-1, 1, 1, -3) and V3 = (1, 1, 9, -5) be three vectors of the space mathbb{R}^4. Does (3, -1, 0, -1) in ext{span } {V1, V2, V3} ? Justify your answer.
(b)
T(x, y, z) = (x + z, x + y + 2z, 2x + y + 3z) द्वारा दिए गए रैखिक रूपांतरण: T: mathbb{R}^3 o mathbb{R}^3 की कोटि तथा शून्यता ज्ञात कीजिए।
Find the rank and nullity of the linear transformation: T: mathbb{R}^3 o mathbb{R}^3 given by T(x, y, z) = (x + z, x + y + 2z, 2x + y + 3z)
(c)
p तथा q के वो मान निकालिए जिसके लिए lim_{x o 0} rac{x(1+pcos x)-qsin x}{x3} का अस्तित्व है एवं 1 के बराबर है।
Find the values of p and q for which lim_{x o 0} rac{x(1 + p cos x) - q sin x}{x3} exists and equals 1.
(d)
समाकल int0^1 rac{log x}{1+x} dx की अभिसारिता का परीक्षण कीजिए।
Examine the convergence of the integral int0^1 rac{log x}{1+x} dx
(e)
एक चर समतल, जो कि मूल-बिन्दु O से अचर दूरी 3p पर है, अक्षों को क्रमशः बिन्दुओं A, B, C पर काटता है। दर्शाइए कि चतुष्फलक OABC के केन्द्रक का बिन्दुपथ 9left(rac{1}{x2}+rac{1}{y2}+rac{1}{z2}
ight)=rac{16}{p2} है।
A variable plane which is at a constant distance 3p from the origin O cuts the axes in the points A, B, C respectively. Show that the locus of the centroid of the tetrahedron OABC is 9left(rac{1}{x2} + rac{1}{y2} + rac{1}{z2}
ight) = rac{16}{p2}.
