Section A
Q1.
(a) दो घटनाएँ A और B इस प्रकार हैं कि P(A) = 1/3, P(B) = 1/4 और P(A|B) + P(B|A) = 2/3, निम्नलिखित के मान निकालिए :
Two events A and B are such that P(A) = 1/3, P(B) = 1/4 and P(A|B) + P(B|A) = 2/3 Evaluate the following : (b) मान लीजिए कि दो यादृच्छिक चरों X और Y का संयुक्त प्रायिकता फलन f(x, y) = (xyx-1)/(3); x = 1, 2, 3 और 0 < y < 1 है। निम्नलिखित का परिकलन कीजिए :
Suppose the joint probability function of two random variables X and Y is f(x, y) = (xyx-1)/(3); x = 1, 2, 3 and 0 < y < 1 Compute the following : (c) मान लीजिए कि X1, X2, dots स्वतंत्र और सर्वसम बंटित यादृच्छिक चरों का एक अनुक्रम है, जिसका माध्य (mu) और प्रसरण (sigma2) infty है, तथा मान लीजिए कि Sn = X1 + X2 + dots + Xn है। दर्शाइए कि यादृच्छिक चरों का अनुक्रम langle Sn angle दुर्बल बृहत् संख्या नियम (WLLN) का पालन नहीं करता है।
Let X1, X2, dots is a sequence of independent and identically distributed random variables with mean (mu) and variance (sigma2) < infty, and assume Sn = X1 + X2 + dots + Xn. Show that WLLN does not hold for sequence langle Sn angle of random variables. (d) एक अच्छे आकलक का मापदण्ड लिखिए। माना कि X1, X2 स्वतंत्र और सर्वसम बंटित (iid) P(lambda) यादृच्छिक चर हैं, तब दर्शाइए कि lambda के आकलन के लिए T = X1 + X2 पर्याप्त है, जबकि T = X1 + 2X2 पर्याप्त नहीं है।
Write the criterion of a good estimator. Let X1, X2 be iid P(lambda) random variables, then show that T = X1 + X2 is sufficient while T = X1 + 2X2 is not sufficient for estimating lambda.
((i)) P(Ac cup Bc)
((ii)) P(A|Bc) + P(B|Ac)
((i))
P(X ge 2 ext और Y ge rac12)
P(X ge 2 ext and Y ge rac12)
((ii))
P(X ge 2)
P(X ge 2)
(a) दो घटनाएँ A और B इस प्रकार हैं कि P
(i) P(Ac ∪ Bc) (ii) P(A|Bc) + P(B|Ac) Two events A and B are such that P
(c) और प्रसरण (o2) < ∞ है, तथा मान लीजिए कि Sn = X1 + X2 + \cdots + Xn है। दर्शाइए कि यादृच्छिक चरों का अनुक्रम \langle Sn \rangle दुर्बल बृहत् संख्या नियम (WLLN) का पालन नहीं करता है। Let X1, X2, \dots is a sequence of independent and identically distributed random and variance (σ^2) < ∞, (μ) and variables with mean assume Sn = X1 + X2 + \cdots + Xn. Show that WLLN does not hold for sequence \langle Sn \rangle of random variables.
